Problema 2.40 Edición sexta de serway
Una pelota de golf se suelta desde el reposo del techo de un edificio muy alto. Despreciando la
resistencia del aire, calcule (a) la posición y (b) la velocidad de la pelota después de 1 seg, 2 seg.
y 3 seg.
t1 = 1 seg V0 = 0 a = 9,8 m/seg2
0
Vf = V0 + a t
Vf = a t
Vf = 9,8 m/seg2
* 1 seg = 9,8 m/seg
Vf = 9,8 m/seg
( ) tV V
2
1 1 Y += 1f0
( ) 1* seg
seg
m
9,8 * 2
1
tV
2
1 1 = Y 1f =
Y1 = 4,9 m
t2 = 2 seg V0 = 0 a = 9,8 m/seg2
0
Vf = V0 + a t
Vf = a t
Vf = 9,8 m/seg2
* 2 seg = 19,6 m/seg
Vf = 19,6 m/seg
( ) tV V
2
1 2 Y += 2f0
( ) 2* seg
seg
m
19,6 * 2
1
tV
2
1 2 = Y 2f =
Y2 = 19,6 m
t3 = 3 seg V0 = 0 a = 9,8 m/seg2
0
Vf = V0 + a t
Vf = a t
Vf = 9,8 m/seg2
*3 seg = 29,4 m/seg
Vf = 29,4 m/seg
( ) tV V
2
1 3 Y += 3f0
( ) 3* seg
seg
m
29,4 * 2
1
tV
2
1 3 = Y 3f =
2
t1 = 1 seg
t2 = 2 seg
t3 = 3 seg
Y1 = 4,9 m
Y2 = 19,6 m
Y3 = 44,1 m Y3 = 44,1 m
Problema 2.43 serway sexta edición; Problema 2.47 Edición cuarta de serway
Una estudiante lanza un llavero verticalmente hacia arriba a su hermana del club femenino de
estudiantes, que esta en una ventana 4 m arriba. Las llaves son atrapadas 1.5 seg. después por el
brazo extendido de la hermana. (a) Con que velocidad inicial fueron lanzadas las llaves?
(b) Cual era la velocidad de las llaves justo antes que fueran atrapadas?
Con que velocidad inicial fueron lanzadas las llaves?
h = 4 m t = 1,5 seg V0 = ? a = 9,8 m/seg2
2
0 t* g * 2
1
+= t * V h
2
0 1,5 * 9,8 * 2
1 = - 1,5 * V 4
4 = 1,5 V0 – 11,025
4 + 11,025 = 1,5 V0
15,025 = 1,5 V0
seg
m
10
1,5
15,025 0 V ==
V0 = 10 m/seg
Cual era la velocidad de las llaves justo antes que fueran atrapadas?
V0 = 10 m/seg a = 9,8 m/seg2
t = 1,5 seg
Vf = V0 - a t
Vf = 10 – 9,8 * 1,5
Vf = 10 – 14,7
Vf = - 4,7 m/seg
Problema 2.45 Edición cuarta de serway
Se informó que una mujer cayó 144 pies desde el piso 17 de un edificio, aterrizando sobre una
caja de ventilador metálica, la cual sumió hasta una profundidad de 18 pulg. Sólo sufrió lesiones
menores. Ignore la resistencia del aire y calcule a) la velocidad de la mujer exactamente antes de
chocar con el ventilador, b) su aceleración promedio mientras está en contacto con la caja, y c) el
tiempo que tarda en sumir la caja.
y = altura del edificio = 144 pies a = 32 pies/seg2
Cuando llega al piso es la velocidad final de ese movimiento y es a la vez la velocidad inicial
cuando entra en contacto con la caja.
Cuando se cae del edificio la velocidad inicial es cero
El signo es (+) por que el movimiento es acelerado, es decir el cuerpo va aumentando la velocidad
0
y a 2 2
0V 2
f V +=
y a 2 2
f V =
32 seg
2 pies 9216 pies 144 * 2 seg
pies 32 * 2 y a 2 Vf == =
Vf = 96 pies/seg es la velocidad de llegada a la caja
b) su aceleración promedio mientras está en contacto con la caja,
Cuando llega al piso es la velocidad final de ese movimiento y es a la vez la velocidad inicial
cuando entra en contacto con la caja.
y = altura que se deforma la caja = 18 pulgadas. a = 32 pies/seg2
pies 1,5 pulg 12
pie 1 = * pulg 18 y =
El signo es (-) por que el movimiento es retardado, es decir el cuerpo va perdiendo velocidad
hasta que sea cero.
0
y a 2 - 2
0V 2
f V =
y a 2 2
0V =
2 seg
pies
3
9216
pies 1,5 *2
2
seg
pies 96
y 2
2
0V
a =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
==
a = 3072 pies/seg2
c) el tiempo que tarda en sumir la caja. La velocidad final es cero
0
V 0 ta - Vf = a * t = v0
seg 0,031
2 seg
pies 3072
seg
pies 96
a
0v
t == =
t = 0,031 seg.
Problema 2.45 serway sexta edición
En Mostar, Bosnia, la prueba máxima del valor de un joven era saltar de un puente de 400 años
de antigüedad (ahora destruido) hacia el rio Neretva, 23 m abajo del puente.
(a) Cuanto duraba el salto?
(b) Con que rapidez caía el joven aI impacto con el agua?
(c) Si la rapidez del sonido en el aire es 340 m/seg., cuanto tiempo, después de saltar el
clavadista, un espectador sobre el puente escucha el golpe en el agua?
(a) Cuanto duraba el salto? h = 23 metros V0 = 0 a = 9,8 m/seg2
2
0 t* g * 2
1
+= t * V h
2 t* 9,8 * 2
1 = 23
2 = t* 4,8 23
44,693 4,8
23
2
t ==
= 4,693 t
t = 2,16 seg.
(b) Con que rapidez caía el joven aI impacto con el agua?
V0 = 0 m/seg a = 9,8 m/seg2
t = 2,16 seg
Vf = V0 + a t
Vf = a t
Vf = 9,8 * 2,16
Vf = 21,23 m/seg
(c) Si la rapidez del sonido en el aire es 340 m/seg., cuanto tiempo, después de saltar el
clavadista, un espectador sobre el puente escucha el golpe en el agua?
Es necesario hallar el tiempo del sonido y sumarlo con el tiempo que demora el clavadista en el
aire.
Velocidad del sonido = 340 m/seg.
h = VSONIDO * tSONIDO
seg 0,0676
seg
m 340
m 23 VSONIDO
h
tSONIDO = ==
sonido = 0,0676 seg
tTOTAL = t + tSONIDO
tTOTAL = 2,16 seg + 0,0676 seg
tTOTAL = 2,22 seg.
Problema 2.46 Edición cuarta de serway; Problema 2.42 serway sexta edición
Se lanza una pelota directamente hacia abajo, con una rapidez inicial de 8 m/seg., desde una
altura de 30 m. Después de que intervalo de tiempo llega la pelota aI suelo?
h = 30 m V0 = 8 m/seg a = 9,8 m/seg2
2
0 t* g * 2
1
+= t * V h
2 t* 9,8 * 2
1
+= t * 8 30
30 = 8t + 4,9 t2
Ordenando la ecuacion
4,9 t2
+ 8t -30 = 0
a = 4,9 b = 8 c = -30
( )
4,9* 2
30 - * 4,9 * 4 - 28 8- a * 2
c a 4 - 2b b - t ± = ± =
9,8
652 8 - 9,8
588 64 8- t ± = +± =
t = 1,79 seg.
5Problema 2.47 Edición cuarta de serway; Problema 2.43 serway sexta edición
Una estudiante lanza un llavero verticalmente hacia arriba a su hermana del club femenino de
estudiantes, que esta en una ventana 4 m arriba. Las llaves son atrapadas 1.5 seg. después por el
brazo extendido de la hermana. (a) Con que velocidad inicial fueron lanzadas las llaves?
(b) Cual era la velocidad de las llaves justo antes que fueran atrapadas?
Con que velocidad inicial fueron lanzadas las llaves?
h = 4 m t = 1,5 seg V0 = ? a = 9,8 m/seg2
2
0 t* g * 2
1
+= t * V h
2
0 1,5 * 9,8 * 2
1 = - 1,5 * V 4
4 = 1,5 V0 – 11,025
4 + 11,025 = 1,5 V0
15,025 = 1,5 V0
seg
m
10
1,5
15,025
V0 ==
V0 = 10 m/seg
Cual era la velocidad de las llaves justo antes que fueran atrapadas?
V0 = 10 m/seg a = 9,8 m/seg2
t = 1,5 seg
Vf = V0 - g t
Vf = 10 – 9,8 * 1,5
Vf = 10 – 14,7
Vf = - 4,7 m/seg
Problema 47 serway sexta edición; Problema 2.51 Edición cuarta de serway
Una pelota de béisbol es golpeada de modo que sube directamente hacia arriba después de ser
tocada por el bat. Un aficionado observa que la pelota tarda 3 seg. en alcanzar su máxima altura.
Encuentre (a) su velocidad inicial y (b) la altura que aIcanza.
(a) su velocidad inicial
v0 = 0 m/seg g = 9,8 m/seg². t = 3 seg. 0
V 0 tg - Vf =
g * t = v0
v0 = 9,8 * 3
v0 = 29,4 m/seg
(b) la altura que aIcanza.
El signo es (-) por que el movimiento es retardado, es decir el cuerpo va perdiendo velocidad
hasta que sea cero.
0
Y g 2 - 2
0V 2
f V =
6
Y = ? t = 3 seg
V0 = ?
VF = 0 Y g 2 2
0V =
m 44,1 m 19,6
864,36
2 seg
m 9,8 *2
2
seg
m 29,4
g 2
2
0V
Y = =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
==
Y = 44,1 m
Problema 2.48 Edición cuarta de serway
Un globo aerostatico viaja verticalmente hacia arriba a una velocidad constante de 5 m/seg.
Cuando esta a 21 m sobre el suelo se suelta un paquete desde el.
a) Cuanto tiempo permanece el paquete en el aire?
b) Cual es su velocidad exactamente antes de golpear el suelo?
c) Repita a) y b) en el caso en que el globo desciende a 5 m/seg.
Cuanto tiempo permanece el paquete en el aire?
V0 = - 5 m/seg h = 21 m g = 9,8 m/seg²
2
0 t* g * 2
1
+= t * V h
2 t* 9,8 * 2
1 += t 5 - 21
2 += t4,9 t 5 - 21
Ordenando la ecuación
4,9 t2
- 5t – 21 = 0
a = 4,9 b = -5 c = -21
() ( )
4,9* 2
21 - * 4,9 * 4 - 2 5- (-5)- a * 2
c a 4 - 2b b -
t
± = ± =
seg
m
2,64 9,8
25,89
9,8
20,89 5 9,8
436,6 5 9,8
411,6 25 5 t == ± = ± = +± =
t = 2,64 m/seg
Cual es su velocidad exactamente antes de golpear el suelo?
V0 = - 5 m/seg t = 2,64 m/seg g = 9,8 m/seg²
V 0 tg Vf +=
Vf = - 5 + 9,8 * 2,64
Vf = - 5 + 25,89
Vf = 20,89 m/seg
Repita a) y b) en el caso en que el globo desciende a 5 m/seg.
Cuanto tiempo permanece el paquete en el aire?
V0 = 5 m/seg h = 21 m g = 9,8 m/seg²
2
0 t* g * 2
1
+= t * V h
72 t* 9,8 * 2
1 += t 5 21
2 += t4,9 t 5 21
Ordenando la ecuación
4,9 t2
+ 5t – 21 = 0
a = 4,9 b = 5 c = -21
() ( )
4,9* 2
21 - * 4,9 * 4 - 2 5 (5)- a * 2
c a 4 - 2b b -
t
± = ± =
seg
m
1,62 9,8
15,89
9,8
20,89 5 - 9,8
436,6 5 - 9,8
411,6 25 5- t == ± = ± = +± =
t = 1,62 m/seg
Cual es su velocidad exactamente antes de golpear el suelo?
V0 = 5 m/seg t = 1,62 m/seg g = 9,8 m/seg²
V 0 tg Vf +=
Vf = 5 + 9,8 * 1,62
Vf = 5 + 15,87
Vf = 20,87 m/seg
Problema 2.48 serway sexta edición
Es posible disparar una flecha a una rapidez de hasta 100 m/seg. (a) Si se desprecia la fricción, a
que altura subiría una flecha lanzada a esta velocidad si se dispara directamente hacia arriba?
V0 = 100 m/seg VF = 0 m/seg
El signo es (-) por que el movimiento es retardado, es decir el cuerpo va perdiendo velocidad
hasta que sea cero.
0
Y g 2 - 2
0V 2
f V =
Y g 2 2
0V =
m 510,2 m 19,6
10000
2 seg
m 9,8 *2
2
seg
m 100
g 2
2
0V
Y = =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
==
Y = 510,2 m
Problema 2.49 Edición cuarta de serway
Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de 15
m/seg a) Cuanto tiempo transcurre hasta que la pelota alcanza su altitud máxima?
b) Cual es su altitud máxima?
c) Determine la velocidad y la aceleración de la pelota en t = 2 seg
c) el tiempo que tarda en sumir la caja. La velocidad final es cero
Cuanto tiempo transcurre hasta que la pelota alcanza su altitud máxima?
v0 = 15 m/seg g = 9,8 m/seg².
8 0
V 0 tg - Vf =
g * t = v0
seg 1,53
2 seg
m 9,8
seg
m
15
g
v0 t == =
t = 1,53 seg
b) Cual es su altitud máxima?
2 ** 2
1
0 * −= tgtvh
( )2 53,1*9,8 * 2
1 h 1,53 *15 −=
h = 22,95 - 4,9 * 2,34
h = 22,95 - 11,47
h = 11,47 m
Determine la velocidad y la aceleración de la pelota en t = 2 seg. Se observa que la pelota demora
1,53 seg para alcanzar la máxima altura, preguntan la velocidad de la pelota a los 2 seg, esto
quiere decir que la pelota lleva 0,47 seg bajando. (Ver grafica).
v0 = 0 m/seg g = 9,8 m/seg².
0
V 0 tg Vf +=
Vf = 9,8 * 0,47
Vf = 4,6 m/seg
Problema 2.49 serway sexta edición
Un osado ranchero, sentado en la rama de un árbol, desea caer verticalmente sobre un caballo
que galopa abajo del árbol. La rapidez constante del caballo es 10 m/seg. y la distancia de la rama
al nivel de la silla de montar es 3 m. (a) Cual debe ser la distancia horizontal entre la silla y la rama
cuando el ranchero hace su movimiento? (b) Cuanto tiempo estará el en el aire?
Es necesario hallar el tiempo que demora en caer el vaquero a la silla del caballo. Este es el
mismo tiempo que demora el caballo en llegar justamente debajo del vaquero.
V0 = 0 m/seg h = 3 m
2
0 t* g * 2
1
+= t * V h
2 t* g * 2
1 = h
2 = t* g h 2
g
h 2 2
t =
9
V0 = 0
h = 11,47 m t = 0,47 seg
t = 1,53 seg
VF = ?seg 0,6122 9,8
6
2 seg
m 9,8
m 3 * 2 g
h 2
t == ==
t = 0,782 seg.
Este es el mismo tiempo que demora el caballo en llegar justamente debajo del vaquero y trae el
caballo una velocidad constante de 10 m/seg.
Se halla la distancia horizontal que avanza el caballo
X = distancia horizontal que avanza el caballo
X = Velocidad del caballo * tiempo
X = 10 m/seg * 0,782 seg
X = 7,82 m
Significa que cuando el caballo este a 7,82 metros el ranchero osado se deja caer del árbol
para llegar exactamente a la silla del caballo.
Problema 2.50 Edición cuarta de serway
Una pelota lanzada verticalmente hacia arriba es capturada por el lanzador después de 20 seg.
Determine a) la velocidad inicial de la pelota, y b) la altura máxima que alcanza.
a) la velocidad inicial de la pelota
vF = 0 m/seg g = 9,8 m/seg². 0
V 0 tg - Vf =
g * t = v0
V0 = 9,8 m/seg2
* 10 seg
V0 = 98 m/seg
b) la altura máxima que alcanza.
y g 2 - 2
0V 2
f V =
y g 2 2
0V =
( ) metros 490
19,6
9604
8,9*2
2 98 g 2
2
0V
Y ====
PROBLEMAS ADICIONALES
Problema 1
Se lanza un cuerpo verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial de 7 m/seg.
a) ¿Cuál será su velocidad luego de haber descendido 3 seg?.
b) ¿Qué distancia habrá descendido en esos 3 seg?.
c) ¿Cuál será su velocidad después de haber descendido 14 m?.
d) Si el cuerpo se lanzó desde una altura de 200 m, ¿en cuánto tiempo alcanzará el suelo?.
e) ¿Con qué velocidad lo hará?.
v0 = 7 m/seg g = 9,8 m/seg². t = 3 seg.
h = 14 m
tbajada = 10 seg tsubida = 10 seg Y
V0 = ?
10a) ¿Cuál será su velocidad luego de haber descendido 3 seg?.
vf = v0 + g.t
vf = (7 m/seg) + (9,8m/seg²).(3 seg)
vf = 7 m/seg + 29,4 m/seg
vf = 36,4 m/seg
b) ¿Qué distancia habrá descendido en esos 3 seg?.
2 t* g * 2
1 V y 0 += t *
2 seg) (3 * 2 seg
m 9,8 * 2
1
seg 3 *
seg
m = 7 y +
y = (21 m) + (4,9 m/seg²).(9 seg2
)
y = 21 m + 44,1 m
y = 65,1 m
c) ¿Cuál será su velocidad después de haber descendido 14 m?.
vf² - v0² = 2.g.h
m 14 * 2 seg
m 9,8 * 2
2
seg
m7 h * g * 2 2
0V Vf + ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ =+=
2 seg
2 m 323,4 2 seg
2 m 74,4 2 2 seg
2 m 49 Vf = + =
vf = 17,98 m/seg
d) Si el cuerpo se lanzó desde una altura de 200 m, ¿en cuánto tiempo alcanzará el suelo?.
y = v0.t + g.t²/2
200 = 7.t + 9,8.t²/2
Ordenando la ecuacion
0 = 9,8.t²/2 + 7.t - 200
Aplicamos la ecuación cuadrática que dará dos resultados:
4,9 t2
+ 7t -200 = 0
a = 4,9 b = 7 c = -200
( )
4,9* 2
200 - * 4,9 * 4 - 27 7 - a * 2
c a 4 - 2b b -
t
± = ± =
9,8
3969 7 - 9,8
3920 49 7-
t
± = +± =
9,8
63 7 -
t
± =
9,8
63 7 - 1
t + =
seg 5,71 9,8
56 1
t ==
seg 7,14 - 9,8
70 - 9,8
63 - 7 - 2t = ==
11
t1 = 5,71 seg t2 = -7,14 seg (NO ES SOLUCION)
e) ¿Con qué velocidad lo hará?.
y = 200 m v0 = 7 m/seg g = 9,8 m/seg².
vf² - v0² = 2.g.h
m 200 * 2 seg
m 9,8 * 2
2
seg
m7 h * g * 2 2
0V Vf + ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ =+=
2 seg
2 m 3969 2 seg
2 m 3920 2 seg
2 m
49 Vf = + =
vf = 63 m
Problema 2
Un objeto en caída libre recorre los últimos 5 metros en 0,2 segundos. Determinar la altura
desde la que cayó.
Se analiza el primer desplazamiento, donde:
“e” es la distancia del primer movimiento
“h” es el desplazamiento total del objeto.
“t” es el tiempo del primer movimiento
2 tg 2
1
t V e 0 +=
Pero la Vo = 0
2 tg 2
1 = e
ECUACION 1
Se analiza el segundo desplazamiento
( ) ( )2 0,2t g 2
1
0,2 t V 5 e h 0 +++=+=
Pero la Vo = 0
( )2 0,2t g 2
1
5 e +=+
ECUACION 2
Reemplazando el valor de “e” de la ecuacion 1 en la ecuacion 2
( )2 0,2t g 2
1
5 2 tg 2
1
+=+
( )2 0,2t g 2
1
2
10 2 tg +=
+
Cancelando el 2 que divide las dos expresiones
( )2 0,2t g 10 2 tg +=+ g t2
+ 10 = g ( t2
+ 2 * 0,2t + 0,22
)
10 = g ( t2
+ 2 * 0,2t + 0,22
) - g t2
10 = g t2
+ 0,4 g t + 0,04 g - g t2
10 = 0,4 g t + 0,04 g
12
e t
5 m 0,2 seg
h = e + 5reemplazando el valor de g = 9,8 m/seg2
10 = 0,4 *( 9,8) t + 0,04 *(9,8)
10 = 3,92 t + 0,392
10 - 0,392 = 3,92 t
9,608 = 3,92 t
seg 2,45 3,92
9,608
t ==
Se halla la distancia del primer movimiento “e”
( )2 seg 2,45 * 2 seg
m 9,8 * 2
1
2 tg 2
1
e ==
⎟
⎠
⎞ ⎜
⎝
⎛ == 2 seg 6 * 2 seg
m 4,9 e
e = 29,4 m
la distancia total es la suma de los dos movimientos.
h = e + 5 = 29,4 + 5 = 34,4 m
Problema 3
a) ¿A que velocidad debe ser lanzada una bola verticalmente desde el nivel del piso para elevarse
a una altura máxima de 50m?
b)¿Cuánto tiempo estará en el aire?
.
Datos
h = 50 m Vf= 0 m/seg. Vo= ? g= -9.81m/seg2
h g 2 - V V 2
0
2
f =
h g 2 - V 0 2 = 0
h g 2 V2
0 =
seg
m m
seg
m hg 3,3150* 2 8,9*2**2 V0 = = =
0
Vf = V0 - g * t
V0 = g * t
seg 3,19
2 seg
m 9,81
seg
m 31,3
g
V0 subida t == =
Tiempo total = 2 * 3,19 seg = 6,38 seg
Problema 4
Una roca es lanzada desde un risco de 100 m de alto ¿cuánto tiempo tarda en caer a los a)
primeros 50 m y b) los segundos 50 m?
Datos
Vo=0 h = 100 m
2
0 ** 2
1 * −= tgtvh
132 ** 2
1 = tgh
2 * h = g * t2
Cuanto tiempo tarda en caer 50 metros?
t1=?
seg
seg
m
m
g
h
t 19,32,10
2 8,9
50*22
1 == ==
Cuanto tiempo tarda en caer (tiempo total de caída)
seg
seg
m
m
g
h
total t 51,44,20
2 8,9
100*22 == ==
b) los segundos 50 m?
= tiempo total – t1
= 4,51 seg – 3,19 seg
= 1,32 seg
Problema 5
Un armadillo salta hacia arriba alcanzando 0,544 m en 0,25 seg.
a)¿Cuál es su velocidad inicial?
b)¿Cuál es su velocidad a esta altura?
c) ¿Qué altura puede alcanzar?
Datos
h = 0,544 m t = 0,25 seg. g= -9.81m/seg2
2 ** 2
1 * 0 −= tgtvh
*tVtgh 0
2 ** 2
1 + =
segVseg
seg
m m 25,0* 0
22 25,0* 2 81,9* 2
1 544,0 + =
segVseg
seg
m m 25,0* 0
2 0625,0* 2 + 905,4544,0 =
m 3065,0544,0 =+ 0 25,0* segVm
85,0 = 0 25,0* segVm
seg
m
3,40 seg 0,25
m 0,85 V0 = =
b)¿Cuál es su velocidad a esta altura?
Vf = V0 – a * t
Vf = 3,4 – 9,81 * 0,25
Vf = 3,4 – 2,4525
14Vf = 0,94 m/seg
c) ¿Qué altura puede alcanzar? Vf = 0
vf ² = v0 ² - 2.g.h
0 = v0 ² - 2.g.h
v0 ² = 2.g.h
m
seg
m
seg
m
17,1
81,9
2
2
56,11
2 seg
m 9,81
2
seg
m 3,4
g
2
0V
h = =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
==
h = 1,17 m
Problema 6
Una bola de arcilla cae en el piso de una altura de1.5 m. Esta en contacto con el piso por 20 mseg
antes de llegar al reposo.
¿Cuál es la aceleración promedio de la bola durante el tiempo que esta en contacto con el piso
(considere la bola como una partícula)?
h=1.5 m
t=20 m/seg =0.2 seg
Vf=0
a =?
hgV f V *2 2
0
2 +=
hg f V *2 2 =
seg
m
hgf V 83,37,145,1*81,9*2 *2 = == =
Esta es la velocidad con que la bola choca con el piso. La bola dura en contacto con el piso
durante 0,2 seg hasta que llega al reposo. Con esta información se procede hallar la aceleración
Vf 0 −= *taV
Vf = 0
V0 = 3,83 m/seg
V0 = a * t
2 15,19 2,0
83,3
0
seg
m
seg
seg
m
t
V a == =
a = 19,15 m/seg2
Problema 7
Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 100 m/seg, luego de 4
seg de efectuado el lanzamiento su velocidad es de 60 m/seg.
a) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada?.
b) ¿En qué tiempo recorre el móvil esa distancia?.
c) ¿Cuánto tarda en volver al punto de partida desde que se lo lanzo?.
d) ¿Cuánto tarda en alcanzar alturas de 300 m y 600 m?.
15
v0 = 100 m/seg vf = 60 m/seg t = 4 seg
a) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada?.
Para la altura máxima vf = 0,
vf² = v0² - 2.g.h
0 = v0² - 2.g.h
v0² = 2.g.h
h máx = -v0²/(2.g)
h máx = (100 m/seg)²/[2.(9,8 m/seg²)]
h máx = (100 m/seg)²/[19,6 m/seg²)]
h máx = 510,2 m
b) ¿En qué tiempo recorre el móvil esa distancia?.
vf = v0 - g.t vf = 0:
0 = v0 - g.t
v0 = g.t
t = v0/g
t = (100 m/s)/(9,8 m/s²)
t = 10,2 seg
c) ¿Cuánto tarda en volver al punto de partida desde que se lo lanzo?.
Recordemos que en tiro vertical, cuando un objeto es lanzado hacia arriba y luego cae, cuando
vuelve a pasar por el punto de partida posee la misma velocidad que en el momento del
lanzamiento pero con sentido contrario (vf = -v0).
Podemos asegurar que el resultado pedido es el doble del tiempo que requirió para alcanzar la
altura máxima.
Tiempo total = tiempo subida + tiempo bajada = 10,2 seg + 10,2 seg = 20,4 seg
d) ¿Cuánto tarda en alcanzar alturas de 300 m y 600 m?.
e) No puede alcanzar una altura de 600 m porque la máxima es de 510,2 m. Para h = 300 m
y = v0.t - g.t²/2
300 = 100.t - 9,8.t²/2
Ordenando la ecuacion
0 = - 9,8.t²/2 + 100t - 300
Aplicamos la ecuación cuadrática que dará dos resultados:
- 4,9 t2
+ 100t - 300 = 0
a = - 4,9 b = 100 c = -300
16
( ) ( ) ( )( )
4,9* 2
300 - * 4,9 - * 4 - 2 100 100 - a * 2
c a 4 - 2b b -
t
± = ± = 9,8
4120 100 9,8
5880 10000 100 -
t
± = −± =
9,8
64,18 100 t
± =
9,8
64,18 100 1
t + =
seg 16,75 9,8
164,18 1
t ==
seg 3,65 9,8
35,82
9,8
64,18 100 2t = ==
t1 = 16,75 seg (NO ES SOLUCION)
t2 = 3,65 seg
Problema 8
Desde lo alto de un edificio, se lanza verticalmente hacia arriba una pelota con una rapidez de
12,5 m/seg. La pelota llega a tierra 4,25 seg después.
Hallar la altura del edificio?
La rapidez con que llega la pelota al piso?
se halla el tiempo de subida que es igual al
tiempo de bajada.
0
Vf = V0 – g * tsubida
0 = 12,5 – 9,81 * tsubida
12,5 = 9,81 * tsubida
seg 1,2742
2 81,9
seg
5,12
subida t = =
seg
m
m
tsubida = 1,2742 seg
tajada = 1,2742 seg
tiempo total = 4,25 seg = tiempo subida + tiempo bajada + tiempo del edificio
4,25 seg = 1,2742 seg + 1,2742 seg + tiempo del edificio
tiempo del edificio = 4,25 seg - 1,2742 seg - 1,2742 seg
tiempo del edificio = 1,7016 seg
Se halla la altura del edificio = Y2
( )2 seg 1,7016 * 2 seg
m 9,81 * 2
1
seg 1,7016 *
seg
m
12,5 2
edif tg 2
1
edif Y2 = V 0 t* + = +
Y2 += ( ) m 2,8954 * 4,905 m 21,27
Y2 = 21,27 m + 14,2021 m
Y2 = 35,47 m ALTURA DEL EDIFICIO.
la velocidad con que es lanzada la pelota es igual a la velocidad de llegada en la parte superior del
tedificio
tsubida tbajada
Y1
V0 = 12,5 m/seg
edificio = Y2
Vf = ?
17edificio. V0 = 12,5 m/seg
Vf = V0 + g * tedificio
Vf = 12,5 m/seg + 9,81 m/seg2
* 1,7016 seg
Vf = 12,5 m/seg + 16,6926 m/seg
Vf = 29,19 m/seg (velocidad con que llega la pelota al piso.)
Problema 9
Se deja caer un cuerpo desde un edificio con una altura de 33 metros y simultáneamente se lanza
hacia abajo otro cuerpo con una rapidez inicial de de 3 m/seg. Encontrar el instante en que la
distancia entre ellos es 18 metros?
Y1 = Es la altura del cuerpo que se deja caer.
Y2 = Es la altura del cuerpo que es lanzado.
Y3 = Es la distancia de 18 metros que separan
a los cuerpos.
Y2 = Y1 + Y3
Y2 = Y1 + 18 (ecuación 1)
El tiempo es el mismo para ambos cuerpos.
V0(1) = 0
V0(2) = 3 m/seg ( es lanzada)
V0(2) = 3 m/seg
2 t* g 2
1
t * Y1 = V 0(1) +
2 t* g 2
1 Y1 = (ecuación 2)
2 t* g 2
1
t * Y2 = V 0(2) + (ecuación 3)
Reemplazando ecuación 1 en la ecuación 3
2 t* g 2
1
t * Y1 =+ V 18 0(2) + (ecuación 4)
Por el sistema de reducción de ecuaciones se relacionan las ecuaciones 2 y la 4
2 t* g 2
1 Y1 = (ecuación 2)
2 t* g 2
1
t * Y1 =+ V 18 0(2) + (ecuación 4)
Multiplico la ecuación 2 por (-1)
Y3 = 18 m
Y1
edificio = 33 m
V0(1) = 0 ( se deja caer)
18
Y2 2 t* g 2
1
- Y- 1 =
2 t* g 2
1
t * Y1 =+ V 18 0(2) +
se suman las ecuaciones
2 t* g 2
1
t * V 0(2)
2 t* g 2
1
- 18 Y - 1 Y 1 =++ + +
Se cancelan los términos semejantes y por ultimo queda:
t * = V 18 0(2)
Se halla el tiempo.
seg 6
seg
m
3
m 18 V0(2)
m 18 t ===
t = 6 seg
Problema 10
Un cuerpo que cae, recorre en el ultimo segundo 68,3 metros. Encontrar la altura desde
donde cae?.
Se analiza el primer desplazamiento, donde:
Y es la distancia del primer movimiento
Y1 = 68,3 m es la distancia del segundo movimiento
Y2 = Y + 68,3 m es el desplazamiento total del objeto.
t es el tiempo del primer movimiento
2 tg 2
1
t V Y 0 +=
Pero la Vo = 0
2 tg 2
1 = Y ECUACION 1
Se analiza el desplazamiento total
( ) ( )2 1t g 2
1
1 t Y2 V 0 +++=
Pero: Y2 = Y + 68,3
( ) ( )2 1t g 2
1
1 t V 68,3 Y 0 +++=+
Pero la Vo = 0
( )2 1t g 2
1
68,3 Y +=+ ECUACION 2
Reemplazando el valor de Y de la ecuación 1 en la ecuación 2 tenemos:
19
V0= 0
Y t
t1 = 1 seg
Y2 = Y+ 68,3 m
Y1 = 68,3 m
T = t + 1 seg( )2 1t g 2
1
68,3 2 tg 2
1
+=+
1 2t 2
tg 2
1
68,3 2 tg 2
1
⎥
⎦
⎤ ⎢
⎣
⎡ ++=+
g 2
1
t g 2 tg 2
1
68,3 2 tg 2
1
++=+
Cancelando terminos semejantes
g 2
1
+= t g 68,3
2
g t g 2 68,3
+ =
68,3 * 2 = 2 g t + g
137, 6 = 2 g t + g
137, 6 – g = 2 g t
g = 9,8 m/seg2
seg 6,52 19,6
127,8
9,8* 2
9,8 - 137,6 g 2
g - 137,6 = t = ==
Se halla la distancia del primer movimiento “Y“ (ECUACION 1)
( )2 seg 6,52 * 2 seg
m 9,8 * 2
1
2 tg 2
1
Y ==
⎟
⎠
⎞ ⎜
⎝
⎛ == 2 seg 42,51 * 2 seg
m 4,9 Y
Y = 208,3 m
la distancia total es la suma de los dos movimientos.
Y2 = Y + 5 = 208,3 + 68,3= 175,63 m
Y2 = 276,6 m
Problema 11
Desde lo alto de un acantilado se deja caer una piedra, desde la misma altura se lanza
una piedra 2 seg mas tarde con una rapidez de 30 m/seg. Si ambos golpean el piso
simultáneamente. Encuentre la altura del acantilado.
t = es el tiempo que demora en llegar el cuerpo que cae
libremente.
t2 = es el tiempo que demora en llegar el cuerpo que es lanzado. Observe que este cuerpo
demora 2 seg menos en el aire que el primer cuerpo, por que es enviado después.
20 V0(2) = 30 m/seg Se analiza la primera piedra V0(1) = 0 ( se deja caer)
t t2 = t - 2 Y
2 g t
2
1
t V0 Y = +
Pero la Vo = 0
2 g t
2
1
Y = ECUACION 1
Se analiza la segunda piedra
( ) ( )2 g t - 2
2
1 * t - 2 V0(2) Y = + pero V0 (2) = 30 m/seg
( ) ( )2 g t - 2
2
1
Y = 30 * t - 2 +
⎥
⎦
⎤ ⎢
⎣
⎡ = + - 4t +4 2 g t
2
1
Y 30 t - 60
-2 g t 2 g 2 g t
2
1
Y = 30 t - 60 + + ECUACION 2
Igualando la ecuación 1 y 2
-2 g t 2 g 2 g t
2
1 30 t - 60 2 g t
2
1 = + +
Cancelando terminos semejantes
0 = 30 t - 60 -2 g t + 2 g
Reemplazando el valor de la gravedad g = 9,81 m/seg2
0 = 30 t – 60 – 2 * 9,81 t + 2 * 9,81
0 = 30 t – 60 – 19,62 t + 19,62 0 = 10,38 t – 40,38 40,38 = 10,38 t
Despejando el tiempo
3,89 seg 10,38
40,38 t = =
Se halla la altura del acantilado en la ecuación 1
2 g t
2
1
Y =
( ) 4,9 * 15,13 2 * 9,8 * 3,89 2
1
Y = =
Y = 74,15 metros
21Problema 12
Una roca cae libremente recorriendo la segunda mitad de la distancia de caída en 3 seg.
Encuentre la altura desde la cual se soltó y el tiempo total de caída
Como dice que la segunda mitad de la trayectoria baja
en 3 seg, significa que el problema se puede dividir en
dos partes iguales.
Y = altura total
y/2 = la mitad de la trayectoria
Vi1 = es la velocidad inicial del primer movimiento.
VF1 = es la velocidad final del primer movimiento.
Vi2 = es la velocidad inicial del segundo movimiento.
VF2 = es la velocidad final del segundo movimiento.
NOTA : En la mitad de la trayectoria la velocidad final
del primer movimiento es igual a la velocidad inicial del Vi1 = 0 segundo movimiento.
Analizamos el segundo movimiento.
Pero t = 3 seg g = 9,81 m/seg2
( ) 2 t* g * 2
1 t * V i2 2
Y = +
( ) 23 * g * 2
1 3 * V i2 2
Y = +
( ) ( ) 9,81 * 2
9
V 3 g * i2 2
9 V 3 i2 2
Y = +=+
( ) 44,145 V 3 i2 2
Y
+=
( ) 44,145) = V 3 ( * 2 Y i2 +
Y = 6 Vi2 + 88,29 Ecuación 1
Analizamos el primer movimiento. Pero Vi1 = 0 VF1 = Vi2 (Ver la grafica).
( )() ⎟
⎠
⎞ ⎜
⎝
⎛ +=
2
Y g * 2 2 V i1 2 VF1
( ) ⎟
⎠
⎞ ⎜
⎝
⎛ = 2
Y g * 2 2 VF1
(VF1)
2
= g * Y
Reemplazando VF1 = Vi2
(Vi2)
2
= g * Y
Despejando Y
t = 3 seg
Y
Y/2
Y/2
22
VF1 = Vi2
VF2( ) ( ) 8,9
2 Vi2
2 Vi2 = Y = g
Ecuación 2
Igualando la ecuación 1 con la ecuación 2
Y = 6 Vi2 + 88,29 Ecuación 1
( ) ( ) 8,9
2 Vi2
2 Vi2 = Y = g
Ecuación 2
( ) 8,9
2 Vi2 88,29 V 6 i2 =+
Se despeja la Vi2
9,8 * (6 Vi2 + 88,29) = (Vi2)
2
58,8 Vi2 + 865,242 = (Vi2)
2
Se ordena la ecuación de segundo grado
0 = (Vi2)
2
- 58,8 Vi2 - 865,242
Se aplica la ecuación de segundo grado para la hallar la velocidad inicial del segundo
movimiento.
0 = (Vi2)
2
- 58,8 Vi2 - 865,242
a = 1 b = - 58,8 c = - 865,242
( ) ( ) () ( )
1* 2
865,242 - * 1 * 4 - 2 58,8- 58,8 - - a * 2
c a 4 - 2b b - Vi2
± = ± =
2
6918,408 58,8 2
3460,968 3457,44 58,8 Vi2
± = ± + =
2
83,17 58,8 Vi2
± =
2
83,17 58,8 Vi2
+ =
seg
m
70,98 2
141,97 Vi2 ==
Vi2 = 70,98 m/seg
solucion tieneno negativa es velocidadla quepor 2
83,17 - 58,8 Vi2 =
Reemplazando en la ecuación 1, se halla la altura total “Y”
Y = 6 Vi2 + 88,29 Ecuación 1
Y = 6 * 70,98 + 88,29
Y = 425,93 + 88,29
Y = 514,22 m
23
Para Hallar el tiempo, se necesita encontrar el tiempo de la primera trayectoria t1
Pero Vi1 = 0 VF1 = Vi2 = 70,98 m/seg
VF1 = Vi1 + g * t1
VF1 = g * t1
seg 7,24
2 seg
m 9,8
seg
m
70,98
g
VF1 1
t == =
Tiempo total = t1 + t
Tiempo total = 7,24 seg + 3 seg
Tiempo total = 10,24 seg
Problema 13
Un estudiante de geología se encuentra frente a un corte vertical en roca, al cual no le es fácil
acceder y desea medir la altura de dicho corte, para lo cual provisto de un cronometro lanza un
fragmento rocoso en forma vertical hasta el borde del corte, el fragmento regresa al cabo de 3
seg. No tener en cuenta la resistencia del aire y calcular;
A) la velocidad inicial de lanzamiento
B) Cual es la altura del corte?
Tiempo total de ida y regreso es = 3 seg. = tiempo subida + tiempo bajada
Por lo anterior el tiempo de subida es = 1,5 seg
Pero Vi = ? VF = 0
VF = Vi - g * tsubida
0 = Vi - g * tsubida
Vi = g * tsubida
Vi = 9,8 m/seg2
* 1,5 seg
Vi = 14,4 m/seg
Cual es la altura del corte?
( ) subida t V0 V f 2
1
Y2 +=
( ) m 10,81,5 * 7,2 1,5* 0 14,4 2
1
Y ==+=
Y = 10,8 m
Sabiendo que la fuerza de tensión es aquella con la que tira una línea o una cuerda, es posible encontrar la tensión en una situación de tipo estático si se conocen los ángulos de las líneas. Por ejemplo, si una carga se posa sobre una pendiente y una línea paralela a esta última impide que la carga se mueva hacia abajo, la tensión se resuelve sabiendo que la suma de los componentes horizontal y vertical de las fuerzas involucradas debe dar cero.
*
*
